線形空間

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体の定義

定義

$F$ を体、$V$ を空でない集合とする。

$V$ に和( + ) と $F$ の元によるスカラー倍(・)が定義されていて、以下の条件を満たすとき、$V$ は $F$ 上線型空間という。

1. 任意の $u,v,w\in V$ に対して、
   $$(u+v)+w=u+(v+w)$$
   が成り立つ。
2. $0\in V$ が存在して、任意の $v\in V$ に対して、
   $$v+0=0+v=v$$ が成り立つ。
3. 任意の $v\in V$ に対して、
   $$v+w=w+v=0$$
   となる $w\in V$ が存在する。(この $w$ を $-v$ と書く。)
4. 任意の $v,w\in V$ に対して、
   $$v+w=w+v$$
   が成り立つ。
5. 任意の $a\in F$ と $v,w\in V$ に対して、
   $$a\cdot (v+w)=a\cdot v+a\cdot w$$
   が成り立つ。
6. 任意の $a,b\in F$ と $v\in V$ に対して、
   $$(a+b)\cdot v=a\cdot v+b\cdot v$$
   が成り立つ。
7. 任意の $a,b\in F$ と $v\in V$ に対して、
   $$(ab)\cdot v=a\cdot (b\cdot v)$$
   が成り立つ。
8. 任意の $v\in V$ に対して、
   $$1\cdot v=v$$
   が成り立つ。

(「・」は省略して書かれることが多い。)

補足

$V$ に和( + ) と $F$ によるスカラー倍(・)が定義されていて

この部分について少し補足しておく。

$V$ に和(＋)が定義されているとは写像
$$+:V\times V\to V$$
が定義されていることを意味する。

(つまり、$V$ の和は $V$ に入っていないといけない。)

また、$V$ に $F$ の元によるスカラー倍はが定義されているとは、写像
$$\cdot :F\times V\to V$$
が定義されていることを意味する。

(つまり、$V$ のスカラー倍は $V$ に入っていないといけない。)

例えば、$a\in \mathbb{R}$, $x+\sqrt{-1}y\in \mathbb{C}$ に対して、
$$a(x+\sqrt{-1}y)=ax+a\sqrt{-1}y\in \mathbb{C}$$
なので、$\mathbb{R}$ の元による $\mathbb{C}$ のスカラー倍を通常の積により定義することができる。

しかし、$1+\sqrt{-1}\in \mathbb{C}$, $2\in \mathbb{R}$ で
$$(1+\sqrt{-1})\cdot 2=2+2\sqrt{-1}\notin \mathbb{R}$$
となるので、$\mathbb{C}$ の元による $\mathbb{R}$ のスカラー倍を通常の積により定義することは出来ない。

例

例1

通常の和とスカラー倍に関して、

実数全体の集合 $\mathbb{R}$ は $\mathbb{R}$ 上線型空間。

複素数全体の集合 $\mathbb{C}$
$$\mathbb{C}=\{x+\sqrt{-1}y\mid x,y\in \mathbb{R}\}$$
は $\mathbb{C}$ 上線型空間。

また、$\mathbb{C}$ は $\mathbb{R}$ 上線型空間でもある。

例2

$${\mathbb{R}}^2=\left\{\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)\right|x,y\in \mathbb{R}\}$$

を考える。

和は $\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ y_1\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}{x}_2\\ y_2\end{array}\right)\in {\mathbb{R}}^2$ に対して、
$$\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ y_1\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}{x}_2\\ y_2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}{x}_1+x_2\\ y_1+y_2\end{array}\right)$$
スカラー倍は $a\in \mathbb{R}$, $\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ y_1\end{array}\right)\in {\mathbb{R}}^2$ に対して、
$$a\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}ax\\ ay\end{array}\right)$$
と定義する。

このとき ${\mathbb{R}}^2$ は $\mathbb{R}$ 上線型空間である。

例3

2×2の正方行列全体の集合
$$M_2(\mathbb{R})=\left\{\left(\begin{array}{cc}x& y\\ z& w\end{array}\right)\right|x,y,z,w\in \mathbb{R}\}$$
を考える。

和は $\left(\begin{array}{cc}{x}_1& y_1\\ z_1& w_1\end{array}\right),\left(\begin{array}{cc}{x}_2& y_2\\ z_2& w_2\end{array}\right)\in M_2(\mathbb{R})$ に対して、
$$\left(\begin{array}{cc}{x}_1& y_1\\ z_1& w_1\end{array}\right)+\left(\begin{array}{cc}{x}_2& y_2\\ z_2& w_2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}{x}_1+x_2& y_1+y_2\\ z_1+z_2& w_1+w_2\end{array}\right)$$
スカラー倍は $a\in \mathbb{R}$, $\left(\begin{array}{cc}x& y\\ z& w\end{array}\right)\in M_2(\mathbb{R})$ に対して、
$$a\left(\begin{array}{cc}x& y\\ z& w\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}ax& ay\\ az& aw\end{array}\right)$$
と定義すると、$M_2(\mathbb{R})$ は $\mathbb{R}$ 上線型空間である。

例4

$\mathbb{R}$ 係数多項式全体の集合
$$\begin{gathered} \mathbb{R}[X]=\{a_0+a_{1}X+\cdots +a_n{X}^n\mid n\in \mathbb{N}, \\ {a}_i\in \mathbb{R}(i=0,\cdots ,n)\} \end{gathered}$$
を考える。

和は通常の多項式の和として定義する。

スカラー倍は、$\alpha \in \mathbb{R}$, $a_0+a_{1}X+\cdots +a_n{X}^n\in \mathbb{R}[X]$ に対して、
$$\alpha \cdot (a_0+a_{1}X+\cdots +a_n{X}^n)=\alpha a_0+\alpha a_{1}X+\cdots +\alpha a_n{X}^n$$
と定義する。

このとき、$\mathbb{R}[X]$ は $\mathbb{R}$ 上線型空間となる。