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定義
$F$ を体、$V$ を空でない集合とする。
$V$ に和( + ) と $F$ の元によるスカラー倍(・)が定義されていて、以下の条件を満たすとき、$V$ は $F$ 上線型空間という。
- 任意の $u,v,w\in V$ に対して、
$$
(u + v) + w = u + (v + w)
$$
が成り立つ。 - $0\in V$ が存在して、任意の $v\in V$ に対して、
$$
v + 0 = 0 + v = v
$$ が成り立つ。 - 任意の $v\in V$ に対して、
$$
v + w = w + v = 0
$$
となる $w\in V$ が存在する。(この $w$ を $-v$ と書く。) - 任意の $v,w\in V$ に対して、
$$
v + w = w + v
$$
が成り立つ。 - 任意の $a\in F$ と $v,w\in V$ に対して、
$$
a\cdot(v + w) = a\cdot v + a\cdot w
$$
が成り立つ。 - 任意の $a,b\in F$ と $v\in V$ に対して、
$$
(a + b)\cdot v = a\cdot v + b\cdot v
$$
が成り立つ。 - 任意の $a,b\in F$ と $v\in V$ に対して、
$$
(ab)\cdot v = a\cdot (b\cdot v)
$$
が成り立つ。 - 任意の $v\in V$ に対して、
$$
1\cdot v = v
$$
が成り立つ。
(「・」は省略して書かれることが多い。)
補足
$V$ に和( + ) と $F$ によるスカラー倍(・)が定義されていて
この部分について少し補足しておく。
$V$ に和(＋)が定義されているとは写像
$$
+:V\times V\to V
$$
が定義されていることを意味する。
(つまり、$V$ の和は $V$ に入っていないといけない。)
また、$V$ に $F$ の元によるスカラー倍はが定義されているとは、写像
$$
\cdot : F\times V\to V
$$
が定義されていることを意味する。
(つまり、$V$ のスカラー倍は $V$ に入っていないといけない。)
例えば、$a\in\mathbb{R}$, $x + \sqrt{-1}y\in\mathbb{C}$ に対して、
$$
a(x + \sqrt{-1}y) = ax + a\sqrt{-1}y \in \mathbb{C}
$$
なので、$\mathbb{R}$ の元による $\mathbb{C}$ のスカラー倍を通常の積により定義することができる。
しかし、$1 + \sqrt{-1}\in\mathbb{C}$, $2\in\mathbb{R}$ で
$$
(1 + \sqrt{-1}) \cdot 2 = 2 + 2\sqrt{-1} \notin \mathbb{R}
$$
となるので、$\mathbb{C}$ の元による $\mathbb{R}$ のスカラー倍を通常の積により定義することは出来ない。
例
例1
通常の和とスカラー倍に関して、
実数全体の集合 $\mathbb{R}$ は $\mathbb{R}$ 上線型空間。
複素数全体の集合 $\mathbb{C}$
$$
\mathbb{C} = \{x + \sqrt{-1}y \mid x,y\in\mathbb{R}\}
$$
は $\mathbb{C}$ 上線型空間。
また、$\mathbb{C}$ は $\mathbb{R}$ 上線型空間でもある。
例2
$$
\mathbb{R}^2 =\left\{\begin{pmatrix}
x \\
y
\end{pmatrix}
\middle |\ x,y\in \mathbb{R}
\right\}
$$
を考える。
和は $\begin{pmatrix}x_1 \\ y_1 \end{pmatrix},\begin{pmatrix}x_2 \\ y_2 \end{pmatrix} \in \mathbb{R}^2$ に対して、
$$
\begin{pmatrix}x_1 \\ y_1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix}x_2 \\ y_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}x_1 + x_2 \\ y_1 + y_2 \end{pmatrix}
$$
スカラー倍は $a\in\mathbb{R}$, $\begin{pmatrix}x_1 \\ y_1 \end{pmatrix} \in \mathbb{R}^2$ に対して、
$$
a\begin{pmatrix}x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}ax \\ ay \end{pmatrix}
$$
と定義する。
このとき $\mathbb{R}^2$ は $\mathbb{R}$ 上線型空間である。
例3
2×2の正方行列全体の集合
$$
M_2(\mathbb{R}) = \left\{\begin{pmatrix}
x & y \\
z & w
\end{pmatrix}
\middle |\ x,y,z,w\in \mathbb{R}
\right\}
$$
を考える。
和は $\begin{pmatrix}x_1 & y_1 \\ z_1 & w_1 \end{pmatrix},\begin{pmatrix}x_2 & y_2 \\ z_2 & w_2 \end{pmatrix} \in M_2(\mathbb{R})$ に対して、
$$
\begin{pmatrix}x_1 & y_1 \\ z_1 & w_1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix}x_2 & y_2 \\ z_2 & w_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}x_1 + x_2 & y_1 + y_2 \\ z_1 + z_2 & w_1 + w_2 \end{pmatrix}
$$
スカラー倍は $a\in\mathbb{R}$, $\begin{pmatrix}x & y \\ z & w \end{pmatrix}\in M_2(\mathbb{R})$ に対して、
$$
a\begin{pmatrix}x & y \\ z & w \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}ax & ay \\ az & aw \end{pmatrix}
$$
と定義すると、$M_2(\mathbb{R})$ は $\mathbb{R}$ 上線型空間である。
例4
$\mathbb{R}$ 係数多項式全体の集合
$$
\mathbb{R}[X] = \{a_0 + a_1X + \cdots + a_nX^n \mid n\in\mathbb{N},\\ a_i \in \mathbb{R}\ (i = 0,\cdots, n)\}
$$
を考える。
和は通常の多項式の和として定義する。
スカラー倍は、$\alpha\in\mathbb{R}$, $a_0 + a_1X + \cdots + a_nX^n\in \mathbb{R}[X]$ に対して、
$$
\alpha\cdot (a_0 + a_1X + \cdots + a_nX^n) = \alpha a_0 + \alpha a_1X + \cdots +\alpha a_nX^n
$$
と定義する。
このとき、$\mathbb{R}[X]$ は $\mathbb{R}$ 上線型空間となる。
