線形空間に関する補足

以下のページの補足である。

線形空間

零ベクトルと逆ベクトルに関する補足

$V$ を $F$ 上線形空間とする。

任意の $v\in V$ に対して、$0\cdot v=v$ である。

証明

線形空間の定義の条件6より、
$$0\cdot v=(0+0)\cdot v=0\cdot v+0\cdot v$$
よって、線形空間の定義の条件2より、$0\cdot v=0$ となる。

任意の $v\in V$ に対して、$(-1)\cdot v=-v$ である。

証明

線形空間の定義の条件6より、
$$0=(1+(-1))\cdot v=1\cdot v+(-1)\cdot v=v+(-1)\cdot v$$
線形空間の定義の条件3より、$(-1)\cdot v=-v$ となる。