絶対値記号を含む方程式

数学

事前知識

例1

以下の方程式を解く。
|x|=3
原点から距離が3となる位置は 33 である。
よって、x=3 または x=3 となる。

少し面倒だが今回の記事では大事な考え方のため、場合分けを使って解いてみる。

|x| を記号を使わずに表すと、
x0のとき、|x|=x

x<0のとき、|x|=x

となる。

x0 のとき、|x|=3x=3 となる。
x<0 のとき、|x|=3x=3 となるため、x=3 である。

よって、|x|=3 を解くと、x=3 または x=3 となる。

例2

(1)|x3|=2

この方程式について考える。

x30 のとき、|x3|=x3 となる。すなわち、x3 のとき、|x3|=x3 となる。
x3<0 のとき、|x3|=(x3) となる。すなわち、x<3 のとき、|x3|=x+3 となる。

このことを踏まえて、方程式 (1) を解いていく。

x3 のとき、(1)
|x3|=2x3=2x=5
x<3 のとき、(1)
|x3|=2x+3=2x=1
よって、方程式 (1) の解は x=1 または x=5 である。

これは点3から距離が2である値が解であることを示している。

例3

(2)|x|+|2x4|=5

場合分けすべき境目は絶対値記号の中が0のときである。つまり、x=02x4=0 すなわち x=2 である。

絶対値記号を外した (2) の左辺の式はx2 の場合と 0x<2 の場合と x<0 の場合とでそれぞれ異なる。

x2 の場合。

|x|=x, |2x4|=2x4 より
|x|+|2x4|=5x+(2x4)=53x=9x=3
0x<2 の場合。

|x|=x, |2x4|=(2x4)=2x+4 より
|x|+|2x4|=5x2x+4=5x=1
だが、今は 0x<2 の場合について考えていることに注意する。x=10x<2​​​ の中にないため、解ではない。

x2 の場合は、解が x=3 でこれは x2 を満たしているのでOK。

x<0 の場合。

|x|=x, |2x4|=(2x4)=2x+4 より
|x|+|2x4|=5x2x+4=53x=1x=13
x=13x<0​ を満たしているため解である。

よって、方程式 (2) の解は
x=13 または x=3
となる。

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