SIRモデル(感染症モデル)について〜googleのスプレッドシートでグラフ化してみる〜

※ この記事はnoteをやっていた頃に投稿した記事です。こちらのブログに移しました。
（note投稿日：2022年11月6日）

SIR数列モデル

$N$ : 人口
$S_{n}$ : $n$ 日目の感受性者数
$I_{n}$ : $n$ 日目の感染者数
$R_{n}$ : $n$ 日目の回復した人数
$β$ : 感染率
$γ$ : 回復率

${\begin{cases} S_{n + 1} - S_{n} = - β S_{n} I_{n} \\ I_{n + 1} - I_{n} = β S_{n} I_{n} - γ I_{n} \\ R_{n + 1} - R_{n} = γ I_{n} \end{cases}$

次のような状況を考える。

$N = 10000000$ (人口一千万人)
$I_{1} = 1$ (感染者数1人)
$S_{1} = 9999999$
$R_{1} = 0$
$γ = 0.1$ (感染したら10日で回復)

前回は全体を12人とし、その12人全員が毎日接触するとしていた。今回は以下のように設定する。

$n$ 日目、感受性者の割合は $S_{n} / N$ である。
なので、感染者1人が誰か1人(感受性者または感染者または回復した人)と接触する場合、感染する可能性のある人の割合は $S_{n} / N$ となる。

$n$ 日目の感染者数が $I_{n}$ で、感染者1人に対し、1日10人と接触するとしているので、接触したとき感染する確率(0.05)を無視すると、感染者数は

$10 \times I_{n} \times S_{n} / N$

となる。

よって、接触したとき感染する確率0.05を含ると、 $n$ 日目から $n + 1$ 日目にかけての感染者数は

$0.05 \times 10 \times I_{n} \times S_{n} / N$

以上のことから感染率 $β$ は

$β = 0.05 \times 10 / N$

とすることにする。

$S_{2} = S_{1} - β S_{1} I_{1}$ より、感受性者数の列の2日目のセルに式「 $S_{1} - β S_{1} I_{1}$ 」を記入する
図のスプレッドシートでは「=B2-$F$4*B2*C2」
感染率 $β$ は固定のため、シートのF4は$マークをつけておく

$I_{2} - I_{1} = β S_{1} I_{1} - γ I_{1}$ より、感染者数の列の2日目のセルに式「 $I_{1} + β S_{1} I_{1} - γ I_{1}$ 」を記入する
図のスプレッドシートでは「=C2+$F$4*B2*C2-$F$5*C2」
感染率 $β$ と回復率 $γ$ は固定のため、シートのF4とF5は$マークをつけておく