絶対値記号を含む不等式

事前知識

• 絶対値

例1

以下の不等式を解く。
$$\begin{array}{}\text{(1)}& |x|\ge 3\end{array}$$
原点からの距離が3以上となる範囲は、$-3$ 以下もしくは $3$ 以上である。

よって、$(\text{1})$ を満たす $x$ の範囲は
$$x\le -3\text{ または }x\ge 3$$
となる。

少し面倒だがこの記事では大事な考え方のため、場合分けを使って解いてみる。

$|x|$ を記号を使わずに表すと、
$$x\ge 0\text{のとき、}|x|=x$$

$$x<0\text{のとき、}|x|=-x$$

となる。

$x\ge 0$ のとき、$|x|\ge 3$ は $x\ge 3$ となる。
$x<0$ のとき、$|x|\ge 3$ は $-x\ge 3$ となるため、$x\le -3$ である。

よって、$|x|\ge 3$ を解くと、$x\le -3$ または $x\ge 3$​​ となる。

例2

$$\begin{array}{}\text{(2)}& |x–3|<2\end{array}$$

この不等式について考える。

$x–3\ge 0$ のとき、$|x–3|=x–3$ となる。すなわち、$x\ge 3$ のとき、$|x–3|=x–3$ となる。
$x–3<0$ のとき、$|x–3|=-(x–3)$ となる。すなわち、$x<3$ のとき、$|x–3|=-x+3$ となる。

このことを踏まえて、不等式 $(\text{2})$ を解いていく。

$x\ge 3$ のとき、$(\text{2})$ は
$$\begin{array}{rl}|x-3|& <2\\ x-3& <2\\ x& <5\end{array}$$
今、$x\ge 3$ の場合を考えているので、このとき $(\text{2})$ を満たす $x$ の範囲は
$$3\le x<5$$
となる。

$x<3$ のとき、$(\text{2})$​ は
$$\begin{array}{rlr}–|x–3|& <2x+3& <2\\ -x& <-1\\ x& >1\end{array}$$
$x<3$ の場合を考えているので $(\text{2})$ を満たす $x$ の範囲は
$$1<x<3$$
となる。

よって、不等式 $(\text{2})$ を満たす $x$ の範囲は $1<x<5$ となる。

これは点3からの距離が2未満の範囲が解であることを示している。

例3

$$\begin{array}{}\text{(3)}& |x|+|2x–4|>5\end{array}$$

この不等式について考える。

場合分けすべき境目は絶対値記号の中が0のときである。つまり、$x=0$ と $2x–4=0$ すなわち $x=2$ である。

絶対値記号を外した $(\text{3})$ の左辺の式は$x\ge 2$ の場合と $0\le x<2$ の場合と $x<0$ の場合とでそれぞれ異なる。

( i ) $x\ge 2$ の場合。

$|x|=x$, $|2x–4|=2x–4$ より
$$\begin{array}{rl}|x|+|2x–4|& >5\\ x+(2x–4)& >5\\ 3x& >9\\ x& >3\end{array}$$
今、$x\ge 2$ の場合を考えていた。$x>3$ は $x\ge 2$ に含んでいるため、このとき、$(\text{3})$ を満たす範囲は
$$x>3$$
となる。

( ii ) $0\le x<2$ の場合。

$|x|=x$, $|2x–4|=–(2x–4)=-2x+4$ より
$$\begin{array}{rl}|x|+|2x–4|& >5\\ x–2x+4& >5\\ x& <-1\end{array}$$
$0\le x<2$ の場合について考えているが、$x<-1$ との共通部分がないため $(\text{3})$ を満たす $x$​ の範囲は存在しない。

( iii ) $x<0$ の場合。

$|x|=-x$, $|2x–4|=–(2x–4)=-2x+4$ より
$$\begin{array}{rl}|x|+|2x–4|& >5\\ -x–2x+4& >5\\ -3x& >1\\ x& <-\frac{1}{3}\end{array}$$
$x<-\frac{1}{3}$ は $x<0$​ を含んでいるため、このときの $(\text{3})$ の範囲は
$$x<-\frac{1}{3}$$
となる。

( i ) – (iii) より、不等式 $(\text{3})$ を満たす $x$ の範囲は
$$x<-\frac{1}{3}\text{ または }x>3$$
となる。