加法定理 | Kome's Monologue

事前知識
公式
証明
例

事前知識

二点間の距離(準備中)
三角関数

公式

$\sin (α + β) = \sin α \cos β + \cos α \sin β$

$\sin (α - β) = \sin α \cos β - \cos α \sin β$

$\cos (α + β) = \cos α \cos β - \sin α \sin β$

$\cos (α - β) = \cos α \cos β + \sin α \sin β$

$\tan (α + β) = \frac{\tan α + \tan β}{1 - \tan α \tan β}$

$\tan (α - β) = \frac{\tan α - \tan β}{1 + \tan α \tan β}$

証明

まず
$\cos (α - β) = \cos α \cos β + \sin α \sin β$
を示す。

図のように角度 $α$ と $β$ をとる。

二点間ABの距離の二乗は
$\begin{aligned} A B^{2} & = (\cos α - \cos β)^{2} + (\sin α - \sin β)^{2} \\ = (\cos^{2} α - 2 \cos α \cos β + \cos^{2} β) + (\sin^{2} α - 2 \sin α \sin β + \sin^{2} β) \\ = (\sin^{2} α + \cos^{2} α) + (\sin^{2} β + \cos^{2} β) - 2 \cos α \cos β - 2 \sin α \sin β \\ = 2 - 2 \cos α \cos β - 2 \sin α \sin β \end{aligned}$
下記の図のように、原点を中心に点Aと点Bから $- β$ 回転させる。回転させた点をそれぞれA’とB’とする。

このとき、点A’は $(\cos (α - β), \sin (α - β))$ , 点B’は $(1, 0)$ となる。

よって、A’B’の距離の二乗は
$\begin{aligned} A^{'} B^{' 2} & = (\cos (α - β) - 1)^{2} + \sin^{2} (α - β) \\ = \cos^{2} (α - β) - 2 \cos (α - β) + 1 + \sin^{2} (α - β) \\ = (\cos^{2} (α - β) + \sin^{2} (α - β)) + 1 - 2 \cos (α - β) \\ = 2 - 2 \cos (α - β) \end{aligned}$
となる。

$A B^{2} = A^{'} B^{' 2}$ より
$\begin{aligned} 2 - 2 \cos α \cos β - 2 \sin α \sin β & = 2 - 2 \cos (α - β) \\ \cos (α - β) & = \cos α \cos β + \sin α \sin β \end{aligned}$
となる。

次に、
$\cos (α + β) = \cos α \cos β - \sin α \sin β$
を示す。
$\begin{aligned} \cos (α + β) & = \cos (α - (- β)) \\ = \cos α \cos (- β) + \sin α \sin (- β) \\ = \cos α \cos β - \sin α \sin β \end{aligned}$

次に、
$\sin (α + β) = \sin α \cos β + \cos α \sin β$
を示す。
$\sin θ = \cos (\frac{π}{2} - θ)$
を利用する。
$\begin{aligned} \sin (α + β) & = \cos (\frac{π}{2} - (α + β)) \\ = \cos ((\frac{π}{2} - α) - β) \\ = \cos (\frac{π}{2} - α) \cos β + \sin (\frac{π}{2} - α) \sin β \\ = \sin α \cos β + \cos α \sin β \end{aligned}$

次に、
$\sin (α - β) = \sin α \cos β - \cos α \sin β$
を示す。
$\begin{aligned} \sin (α - β) & = \sin (α + (- β)) \\ = \sin α \cos (- β) + \cos α \sin (- β) \\ = \sin α \cos β - \cos α \sin β \end{aligned}$

最後に
$\tan (α + β) = \frac{\tan α + \tan β}{1 - \tan α \tan β}$
と
$\tan (α - β) = \frac{\tan α - \tan β}{1 + \tan α \tan β}$
を示す。
$\begin{aligned} \tan (α + β) & = \frac{\sin (α + β)}{\cos (α + β)} \\ = \frac{\sin α \cos β + \cos α \sin β}{\cos α \cos β - \sin α \sin β} \end{aligned}$
ここで、分母と分子から $\cos α \cos β$ を割ると、
$\begin{aligned} \frac{\sin α \cos β + \cos α \sin β}{\cos α \cos β - \sin α \sin β} & = \frac{\frac{\sin α \cos β}{\cos α \cos β} + \frac{\cos α \sin β}{\cos α \cos β}}{1 - \frac{\sin α \sin β}{\cos α \cos β}} \\ = \frac{\tan α + \tan β}{1 - \tan α \tan β} \end{aligned}$
よって、
$\tan (α + β) = \frac{\tan α + \tan β}{1 - \tan α \tan β}$
となる。
$\tan (α - β) = \frac{\tan α - \tan β}{1 + \tan α \tan β}$
も同様に示すことができる。
$\begin{aligned} \tan (α - β) & = \frac{\sin (α - β)}{\cos (α - β)} \\ = \frac{\sin α \cos β - \cos α \sin β}{\cos α \cos β + \sin α \sin β} \\ = \frac{\frac{\sin α \cos β}{\cos α \cos β} - \frac{\cos α \sin β}{\cos α \cos β}}{1 + \frac{\sin α \sin β}{\cos α \cos β}} \\ = \frac{\tan α - \tan β}{1 + \tan α \tan β} \end{aligned}$

例

$\begin{aligned} \sin \frac{π}{12} & = \sin (\frac{π}{3} - \frac{π}{4}) \\ = \sin \frac{π}{3} \cos \frac{π}{4} - \cos \frac{π}{3} \sin \frac{π}{4} \\ = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} \\ = \frac{\sqrt{3} - 1}{2 \sqrt{2}} \\ = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \end{aligned}$

$\begin{aligned} \cos \frac{π}{12} & = \cos (\frac{π}{3} - \frac{π}{4}) \\ = \cos \frac{π}{3} \cos \frac{π}{4} + \sin \frac{π}{3} \sin \frac{π}{4} \\ = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} \\ = \frac{1 + \sqrt{3}}{2 \sqrt{2}} \\ = \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4} \end{aligned}$

$\begin{aligned} \tan \frac{π}{12} & = \tan (\frac{π}{3} - \frac{π}{4}) \\ = \frac{\tan \frac{π}{3} - \tan \frac{π}{4}}{1 + \tan \frac{π}{3} \tan \frac{π}{4}} \\ = \frac{\sqrt{3} - 1}{1 + \sqrt{3}} \\ = 2 - \sqrt{3} \end{aligned}$

最後の等式は有理化を行った。