加法定理

事前知識

• 二点間の距離(準備中)
• 三角関数
  • 三角関数の定義
  • 三角関数の性質
  • 三角関数の相互関係

公式

$$\sin (\alpha +\beta )=\sin \alpha \cos \beta +\cos \alpha \sin \beta$$

$$\sin (\alpha –\beta )=\sin \alpha \cos \beta –\cos \alpha \sin \beta$$

$$\cos (\alpha +\beta )=\cos \alpha \cos \beta –\sin \alpha \sin \beta$$

$$\cos (\alpha –\beta )=\cos \alpha \cos \beta +\sin \alpha \sin \beta$$

$$\tan (\alpha +\beta )=\frac{\tan \alpha +\tan \beta }{1–\tan \alpha \tan \beta }$$

$$\tan (\alpha –\beta )=\frac{\tan \alpha –\tan \beta }{1+\tan \alpha \tan \beta }$$

証明

まず
$$\cos (\alpha –\beta )=\cos \alpha \cos \beta +\sin \alpha \sin \beta$$
を示す。

図のように角度 $\alpha$ と $\beta$ をとる。

二点間ABの距離の二乗は
$$\begin{array}{rl}A{B}^2& =(\cos \alpha –\cos \beta {)}^2+(\sin \alpha –\sin \beta {)}^2\\ & =({\cos }^2\alpha –2\cos \alpha \cos \beta +{\cos }^2\beta )+({\sin }^2\alpha –2\sin \alpha \sin \beta +{\sin }^2\beta )\\ & =({\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha )+({\sin }^2\beta +{\cos }^2\beta )–2\cos \alpha \cos \beta –2\sin \alpha \sin \beta \\ & =2–2\cos \alpha \cos \beta –2\sin \alpha \sin \beta \end{array}$$
下記の図のように、原点を中心に点Aと点Bから $-\beta$ 回転させる。回転させた点をそれぞれA’とB’とする。

このとき、点A’は $(\cos (\alpha –\beta ),\sin (\alpha –\beta ))$, 点B’は $(1,0)$ となる。

よって、A’B’の距離の二乗は
$$\begin{array}{rl}{A}^{\prime }{B}^{\prime 2}& =(\cos (\alpha –\beta )–1{)}^2+{\sin }^2(\alpha –\beta )\\ & ={\cos }^2(\alpha –\beta )–2\cos (\alpha –\beta )+1+{\sin }^2(\alpha –\beta )\\ & =({\cos }^2(\alpha –\beta )+{\sin }^2(\alpha –\beta ))+1–2\cos (\alpha –\beta )\\ & =2–2\cos (\alpha –\beta )\end{array}$$
となる。

$A{B}^2=A^{\prime }{B}^{\prime 2}$ より
$$\begin{array}{rl}2–2\cos \alpha \cos \beta –2\sin \alpha \sin \beta & =2–2\cos (\alpha –\beta )\\ \cos (\alpha –\beta )& =\cos \alpha \cos \beta +\sin \alpha \sin \beta \end{array}$$
となる。

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次に、
$$\cos (\alpha +\beta )=\cos \alpha \cos \beta –\sin \alpha \sin \beta$$
を示す。
$$\begin{array}{rl}\cos (\alpha +\beta )& =\cos (\alpha –(-\beta ))\\ & =\cos \alpha \cos (-\beta )+\sin \alpha \sin (-\beta )\\ & =\cos \alpha \cos \beta –\sin \alpha \sin \beta \end{array}$$

---

次に、
$$\sin (\alpha +\beta )=\sin \alpha \cos \beta +\cos \alpha \sin \beta$$
を示す。
$$\sin \theta =\cos \left(\frac{\pi }{2}–\theta \right)$$
を利用する。
$$\begin{array}{rl}\sin (\alpha +\beta )& =\cos (\frac{\pi }{2}–(\alpha +\beta ))\\ & =\cos \left(\left(\frac{\pi }{2}–\alpha \right)–\beta \right)\\ & =\cos \left(\frac{\pi }{2}–\alpha \right)\cos \beta +\sin \left(\frac{\pi }{2}–\alpha \right)\sin \beta \\ & =\sin \alpha \cos \beta +\cos \alpha \sin \beta \end{array}$$

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次に、
$$\sin (\alpha –\beta )=\sin \alpha \cos \beta –\cos \alpha \sin \beta$$
を示す。
$$\begin{array}{rl}\sin (\alpha –\beta )& =\sin (\alpha +(-\beta ))\\ & =\sin \alpha \cos (-\beta )+\cos \alpha \sin (-\beta )\\ & =\sin \alpha \cos \beta –\cos \alpha \sin \beta \end{array}$$

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最後に
$$\tan (\alpha +\beta )=\frac{\tan \alpha +\tan \beta }{1–\tan \alpha \tan \beta }$$
と
$$\tan (\alpha –\beta )=\frac{\tan \alpha –\tan \beta }{1+\tan \alpha \tan \beta }$$
を示す。
$$\begin{array}{rl}\tan (\alpha +\beta )& =\frac{\sin (\alpha +\beta )}{\cos (\alpha +\beta )}\\ & =\frac{\sin \alpha \cos \beta +\cos \alpha \sin \beta }{\cos \alpha \cos \beta –\sin \alpha \sin \beta }\end{array}$$
ここで、分母と分子から $\cos \alpha \cos \beta$ を割ると、
$$\begin{array}{rl}\frac{\sin \alpha \cos \beta +\cos \alpha \sin \beta }{\cos \alpha \cos \beta –\sin \alpha \sin \beta }& =\frac{\frac{\sin \alpha \cos \beta }{\cos \alpha \cos \beta }+\frac{\cos \alpha \sin \beta }{\cos \alpha \cos \beta }}{1-\frac{\sin \alpha \sin \beta }{\cos \alpha \cos \beta }}\\ & =\frac{\tan \alpha +\tan \beta }{1–\tan \alpha \tan \beta }\end{array}$$
よって、
$$\tan (\alpha +\beta )=\frac{\tan \alpha +\tan \beta }{1–\tan \alpha \tan \beta }$$
となる。
$$\tan (\alpha –\beta )=\frac{\tan \alpha –\tan \beta }{1+\tan \alpha \tan \beta }$$
も同様に示すことができる。
$$\begin{array}{rl}\tan (\alpha –\beta )& =\frac{\sin (\alpha -\beta )}{\cos (\alpha -\beta )}\\ & =\frac{\sin \alpha \cos \beta –\cos \alpha \sin \beta }{\cos \alpha \cos \beta +\sin \alpha \sin \beta }\\ & =\frac{\frac{\sin \alpha \cos \beta }{\cos \alpha \cos \beta }–\frac{\cos \alpha \sin \beta }{\cos \alpha \cos \beta }}{1+\frac{\sin \alpha \sin \beta }{\cos \alpha \cos \beta }}\\ & =\frac{\tan \alpha –\tan \beta }{1+\tan \alpha \tan \beta }\end{array}$$

例

$$\begin{array}{rl}\sin \frac{\pi }{12}& =\sin \left(\frac{\pi }{3}–\frac{\pi }{4}\right)\\ & =\sin \frac{\pi }{3}\cos \frac{\pi }{4}–\cos \frac{\pi }{3}\sin \frac{\pi }{4}\\ & =\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot \frac{1}{\sqrt{2}}–\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{\sqrt{2}}\\ & =\frac{\sqrt{3}–1}{2\sqrt{2}}\\ & =\frac{\sqrt{6}–\sqrt{2}}{4}\end{array}$$

$$\begin{array}{rl}\cos \frac{\pi }{12}& =\cos \left(\frac{\pi }{3}–\frac{\pi }{4}\right)\\ & =\cos \frac{\pi }{3}\cos \frac{\pi }{4}+\sin \frac{\pi }{3}\sin \frac{\pi }{4}\\ & =\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot \frac{1}{\sqrt{2}}\\ & =\frac{1+\sqrt{3}}{2\sqrt{2}}\\ & =\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4}\end{array}$$

$$\begin{array}{rl}\tan \frac{\pi }{12}& =\tan \left(\frac{\pi }{3}–\frac{\pi }{4}\right)\\ & =\frac{\tan \frac{\pi }{3}–\tan \frac{\pi }{4}}{1+\tan \frac{\pi }{3}\tan \frac{\pi }{4}}\\ & =\frac{\sqrt{3}–1}{1+\sqrt{3}}\\ & =2–\sqrt{3}\end{array}$$

最後の等式は有理化を行った。