体の定義と例

単位元を持つ可換環

$R$ を空でない集合とする。
$R$ に和(＋)と積(・)が定義されていて、次の条件を満たすとき $R$ を単位元を持つ可換環という。

1. 和に関して可換群である。すなわち、以下の4つの条件を満たす。
   • (結合法則) 任意の $a, b, c\in R$ に対して、
     $$
     a + (b + c) = (a + b) + c
     $$
     が成り立つ。
   • (単元の存在) $0\in F$ が存在して、任意の $a\in R$ に対して、
     $$
     0 + a = a + 0 = a
     $$
     が成り立つ。
   • (逆元の存在) 任意の $a\in R$ に対して、
     $$
     a + b = b + a = 0
     $$
     となる $b\in R$ が存在する。(この $b$ を $-a$ と書く。)
   • (交換法則) 任意の $a, b\in R$ に対して、
     $$
     a + b = b + a
     $$
     が成り立つ。
2. 積に関して可換モノイドである。すなわち、以下の3つの条件を満たす。
   • (結合法則) 任意の $a, b, c\in R$ に対して、
     $$
     a \cdot (b\cdot c) = (a \cdot b) \cdot c
     $$
     が成り立つ。
   • (単位元の存在) $1\in R$ が存在して、任意の $a\in R$ に対して、
     $$
     1 \cdot a = a \cdot 1 = a
     $$
     が成り立つ。
   • (交換法則) 任意の $a, b\in R$ に対して、
     $$
     a \cdot b = b \cdot a
     $$
     が成り立つ。
3. 分配法則を満たす。すなわち、任意の $a, b, c\in R$ に対して、
   $$
   a\cdot(b+c) = a \cdot b + a \cdot c
   $$
   が成り立つ。

体

$F$ が単位元を持つ可換環で以下の条件を満たすとき、$F$ は体という。

$F\setminus \{0\}$ の任意の元に対して積に関する逆元が存在する。すなわち、

任意の $a\in F\setminus \{0\}$ に対して、
$$
a \cdot b = b \cdot a = 1
$$
となる $b\in F$ が存在する。(この $b$ を $a^{-1}$ または $\frac{1}{a}$ と書く。)

例

例1

有理数全体の集合 $\mathbb{Q}$, 実数全体の集合 $\mathbb{R}$, 複素数全体の集合 $\mathbb{C}$ は通常の和と積に関して体となる。

例2

$$
\mathbb{Q}[\sqrt{2}] = \{a + b\sqrt{2}\mid a, b\in \mathbb{Q}\}
$$

とする。

$\mathbb{Q}[\sqrt{2}]$ は通常の和と積に関して体である。

$x, y\in \mathbb{Q}[\sqrt{2}]$ に対して,
$$
x = a + b\sqrt{2},\ y = c + d\sqrt{2}\ \ (a, b, c, d\in\mathbb{Q})
$$
と書ける。
$$
\begin{align}
x + y &= (a + b\sqrt{2}) + (c + d\sqrt{2}) \\
&= (a + c) + (b + d)\sqrt{2},
\end{align}
$$

$$
\begin{align}
x\cdot y &= (a + b\sqrt{2})\cdot(c + d\sqrt{2}) \\
&= (ac + 2bd) + (ad + bc)\sqrt{2}
\end{align}
$$

となり、$a + c,\ b + d,\ ac + 2bd,\ ad + bc\in \mathbb{Q}$ となるため、和と積に関して閉じている。

和に関しての単位元は 0 $(a = b = 0)$ であり、積に関しの単位元は 1 $(a = 1, b = 0)$ である。

$x = a + b\sqrt{2}$ に対して、和に関しての逆元は $- a – b\sqrt{2}$, 積に関しての逆元は
$$
\frac{a}{a^2 – 2b^2} – \frac{b}{a^2 – 2b^2}\sqrt{2} \in \mathbb{Q}[\sqrt{2}]
$$
である。($1/(a + b\sqrt{2})$ の有理化)

例3

$$
\mathbb{F}_5 = \{0,1,2,3,4\}
$$

を考える。和と積は以下のように定義する。

和

積

このとき、$\mathbb{F}_5$ は体である。