体の定義と例

単位元を持つ可換環

$R$ を空でない集合とする。
$R$ に和(＋)と積(・)が定義されていて、次の条件を満たすとき $R$ を単位元を持つ可換環という。

1. 和に関して可換群である。すなわち、以下の4つの条件を満たす。
   • (結合法則) 任意の $a,b,c\in R$ に対して、
     $$a+(b+c)=(a+b)+c$$
     が成り立つ。
   • (単元の存在) $0\in F$ が存在して、任意の $a\in R$ に対して、
     $$0+a=a+0=a$$
     が成り立つ。
   • (逆元の存在) 任意の $a\in R$ に対して、
     $$a+b=b+a=0$$
     となる $b\in R$ が存在する。(この $b$ を $-a$ と書く。)
   • (交換法則) 任意の $a,b\in R$ に対して、
     $$a+b=b+a$$
     が成り立つ。
2. 積に関して可換モノイドである。すなわち、以下の3つの条件を満たす。
   • (結合法則) 任意の $a,b,c\in R$ に対して、
     $$a\cdot (b\cdot c)=(a\cdot b)\cdot c$$
     が成り立つ。
   • (単位元の存在) $1\in R$ が存在して、任意の $a\in R$ に対して、
     $$1\cdot a=a\cdot 1=a$$
     が成り立つ。
   • (交換法則) 任意の $a,b\in R$ に対して、
     $$a\cdot b=b\cdot a$$
     が成り立つ。
3. 分配法則を満たす。すなわち、任意の $a,b,c\in R$ に対して、
   $$a\cdot (b+c)=a\cdot b+a\cdot c$$
   が成り立つ。

体

$F$ が単位元を持つ可換環で以下の条件を満たすとき、$F$ は体という。

$F\setminus \{0\}$ の任意の元に対して積に関する逆元が存在する。すなわち、

任意の $a\in F\setminus \{0\}$ に対して、
$$a\cdot b=b\cdot a=1$$
となる $b\in F$ が存在する。(この $b$ を $a^{-1}$ または $\frac{1}{a}$ と書く。)

例

例1

有理数全体の集合 $\mathbb{Q}$, 実数全体の集合 $\mathbb{R}$, 複素数全体の集合 $\mathbb{C}$ は通常の和と積に関して体となる。

例2

$$\mathbb{Q}[\sqrt{2}]=\{a+b\sqrt{2}\mid a,b\in \mathbb{Q}\}$$

とする。

$\mathbb{Q}[\sqrt{2}]$ は通常の和と積に関して体である。

$x,y\in \mathbb{Q}[\sqrt{2}]$ に対して,
$$x=a+b\sqrt{2},y=c+d\sqrt{2}(a,b,c,d\in \mathbb{Q})$$
と書ける。
$$\begin{array}{rl}x+y& =(a+b\sqrt{2})+(c+d\sqrt{2})\\ & =(a+c)+(b+d)\sqrt{2},\end{array}$$

$$\begin{array}{rl}x\cdot y& =(a+b\sqrt{2})\cdot (c+d\sqrt{2})\\ & =(ac+2bd)+(ad+bc)\sqrt{2}\end{array}$$

となり、$a+c,b+d,ac+2bd,ad+bc\in \mathbb{Q}$ となるため、和と積に関して閉じている。

和に関しての単位元は 0 $(a=b=0)$ であり、積に関しの単位元は 1 $(a=1,b=0)$ である。

$x=a+b\sqrt{2}$ に対して、和に関しての逆元は $-a–b\sqrt{2}$, 積に関しての逆元は
$$\frac{a}{a^2–2b^2}–\frac{b}{a^2–2b^2}\sqrt{2}\in \mathbb{Q}[\sqrt{2}]$$
である。($1/(a+b\sqrt{2})$ の有理化)

例3

$${\mathbb{F}}_5=\{0,1,2,3,4\}$$

を考える。和と積は以下のように定義する。

和

積

このとき、${\mathbb{F}}_5$ は体である。