度数法と弧度法

前提知識

• 三角比の拡張

度数法

円周を360等分した時の角度を1度(1°)とする。

弧度法

半径と弧の長さが等しい扇形を考える。
このときに出来る中心角を1ラジアン(1 rad)とする。

円周率

直径と円周の長さの比率$\frac{\text{円周の長さ}}{\text{直径の長さ}}$を円周率と呼び $\pi$ と書く。

半径 $r$, 円周の長さを $l$ としたとき、
$$\begin{array}{r}\pi =\frac{l}{2r}\\ l=2\pi r\end{array}$$
となる。

度数法と弧度法の変換

半径 $r$ としたとき、円周の長さは $2\pi r$ である。
円周の長さは中心角が1radである孤の長さより $2\pi$ 倍であるため、円周1週分の角度は $2\pi$​​ rad となる。

つまり、
$${360}^{\circ }=2\pi \text{rad}$$
このことから、
$$1^{\circ }=\frac{\pi }{180}\mathrm{rad},{60}^{\circ }=\frac{\pi }{3}\mathrm{rad},{225}^{\circ }=\frac{5}{4}\pi \mathrm{rad}\dots$$
となる。

また、単位「radian(rad)」はよく省略される。

例

例 1

${120}^{\circ }=\frac{2}{3}\pi$ より
$$\sin \frac{2}{3}\pi =\frac{\sqrt{3}}{2},\cos \frac{2}{3}\pi =-\frac{1}{2},\tan \frac{2}{3}\pi =-\sqrt{3}$$

例 2

${390}^{\circ }=\frac{13}{6}\pi$ の場合、図のような位置となる。

このとき、
$$\begin{array}{rl}\sin \frac{13}{6}\pi & =\sin \frac{\pi }{6}=\frac{1}{2}\\ \cos \frac{13}{6}\pi & =\cos \frac{\pi }{6}=\frac{\sqrt{3}}{2}\\ \tan \frac{13}{6}\pi & =\tan \frac{\pi }{6}=\frac{1}{\sqrt{3}}\end{array}$$

例 3

$\sin (-\frac{\pi }{4}),\cos (-\frac{\pi }{4}),\tan (-\frac{\pi }{4})$ を求める。$-\frac{\pi }{4}$ は図で表すと以下のような位置になる。

よって、
$$\sin (-\frac{\pi }{4})=-\frac{1}{\sqrt{2}},\cos (-\frac{\pi }{4})=\frac{1}{\sqrt{2}},\tan (-\frac{\pi }{4})=-1$$