直積集合

定義

$X$ と $Y$ を集合とする。

$X$ と $Y$ の直席集合 $X\times Y$ を
$$X\times Y=\{(x,y)\mid x\in X,y\in Y\}$$
と定義する。

さらに一般的に、$X_1,X_2,\cdots ,X_n$ を集合とする。

このとき、$X_1\times X_2\times \cdots \times X_n$ を
$$X_1\times X_2\times \cdots \times X_n=\{(x_1,x_2,\cdots ,x_n)\mid x_1\in X_1,x_2\in X_2,\cdots ,x_n\in X_n\}$$
と定義する。

集合 $X$ に対して、$X$ の $n$ 個の直積 $\underset{n\mathrm{個}}{\underbrace{X\times \cdots \times X}}$ を $X^n$ と書く。

例

例1

$X=\{1,2,3\}$, $Y=\{a,b\}$ とする。

このとき $X\times Y$ は
$$X\times Y=\{(1,a),(1,b),(2,a),(2,b),(3,a),(3,b)\}$$
となる。

例2

$X=\mathbb{Z}$ (整数全体の集合), $Y=\{a,b,\cdots ,z\}$ (英小文字全体の集合)

このとき、$X\times Y$ は
$$X\times Y=\{(\alpha ,\beta )\mid \alpha \in \mathbb{Z},\beta \in \{a,b,\cdots ,z\}\}$$
なので、
$$X\times Y=\{(-1,b),(2000,z),(-1342,m),\cdots \}$$
のような感じになる。

例3

$${\mathbb{R}}^2=\mathbb{R}\times \mathbb{R}=\{(x,y)\mid x,y\in \mathbb{R}\}$$

これは、実数平面を表す集合でである。

例4

$$\mathbb{R}\times \mathbb{Z}=\{(x,y)\mid x\in \mathbb{R},y\in \mathbb{Z}\}$$

$\mathbb{R}\times \mathbb{Z}$ は ${\mathbb{R}}^2$ の部分集合であり、イメージとしては以下のようになる。