部分体、拡大体

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体の定義と例

部分体と拡大体の定義

$E$ を体とする。$E$ の部分集合 $F$ が $E$ で与えられた和と積で体となるとき、$F$ は $E$ の部分体という。

$F$ が体 $E$ の部分体であるとき、$E$ は $F$ の拡大体という。

$E$ が $F$ の拡大体であるとき、$E/F$ と書く。

中間体

$E/F$ を体の拡大とする。集合 $K$ が $F\subset K\subset E$ となる $E$ の部分体であるとき、$K$ を $E$ と $F$ の中間体という。

部分体の共通部分

$E$ を体とし、$F_1$ と $F_2$ を $E$ の部分体とする。このとき、$F_1$ と $F_2$ の共通部分 $F_1\cap F_2$ も $E$ の部分体である。

理由

$a,b\in F_1\cap F_2$ とする。$F_1$ と $F_2$ は $E$ の部分体なので、
$$a+b\in F_1\text{ かつ }a+b\in F_2$$
であり、
$$a\cdot b\in F_1\text{ かつ }a\cdot b\in F_2$$
である。よって、
$$a+b\in F_1\cap F_2,a\cdot b\in F_1\cap F_2$$
となる。
また、同じような感じで $a\in F_1\cap F_2$ に対して、$a+c=0$ となる、$c\in F_1\cap F_2$ が存在すること、そして $a\cdot d=1$ となる $d\in F_1\cap F_2$ がすることが示せる。
よって和に関しての逆元、積に関しての逆元が $F_1\cap F_2$ 内に存在する。

生成される体

体の拡大 $E/F$ に対し、${\alpha }_1,\cdots ,{\alpha }_n\in E$ とする。
$F$ と ${\alpha }_1,\cdots ,{\alpha }_n$ を含む $E$ の最小の部分体を
$$F({\alpha }_1,\cdots ,{\alpha }_n)$$
と書く。

すなわち、$F$ と ${\alpha }_1,\cdots ,{\alpha }_n$ を含む任意の $E$ の部分体 $K$ に対して、
$$F({\alpha }_1,\cdots ,{\alpha }_n)\subset K$$
が成り立ことである。$F({\alpha }_1,\cdots ,{\alpha }_n)$ を $F$ 上 ${\alpha }_1,\cdots {\alpha }_n$ で生成される体、または $F$ に ${\alpha }_1,\cdots ,{\alpha }_n$ を添加した体と呼ぶ。

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$E/F$ を体の拡大とし、$\{K_{\lambda }{\}}_{\lambda \in \mathrm{\Lambda }}$ を $F$ と ${\alpha }_1,\cdots ,{\alpha }_n\in E$ を含む $E$ の部分体全体の族とする。このとき、
$$F({\alpha }_1,\cdots ,{\alpha }_n)=\bigcap _{\lambda \in \mathrm{\Lambda }}{K}_{\lambda }$$
となる。

証明

$\bigcap _{\lambda \in \mathrm{\Lambda }}{K}_{\lambda }$ は $E$ の部分体である。
(これは、上記で書いた部分体の共通部分と同じ感じで示せる。
例えば、和に関して閉じていることは以下のように言える。
$a,b\in \bigcap _{\lambda \in \mathrm{\Lambda }}{K}_{\lambda }$ とする。すなわち、任意の $\lambda \in \mathrm{\Lambda }$ に対して $a,b\in K_{\lambda }$ とする。このとき、$K_{\lambda }$ は $E$ の部分体なので、任意の $\lambda \in \mathrm{\Lambda }$ に対して $a+b\in K_{\lambda }$ となるので、$a+b\in \bigcap _{\lambda \in \mathrm{\Lambda }}{K}_{\lambda }$ である。)
よって、$\bigcap _{\lambda \in \mathrm{\Lambda }}{K}_{\lambda }\in \{K_{\lambda }{\}}_{\lambda \in \mathrm{\Lambda }}$ である。

また、$F({\alpha }_1,\cdots ,{\alpha }_n)\in \{K_{\lambda }{\}}_{\lambda \in \mathrm{\Lambda }}$ である。

任意の $F$ と ${\alpha }_1,\cdots ,{\alpha }_n\in E$ を含む $E$ の部分体 $L$ (すなわち、$L\in \{K_{\lambda }{\}}_{\lambda \in \mathrm{\Lambda }}$) に対して、
$$\bigcap _{\lambda \in \mathrm{\Lambda }}{K}_{\lambda }\subset L$$
となるので、
$$\bigcap _{\lambda \in \mathrm{\Lambda }}{K}_{\lambda }\subset F({\alpha }_1,\cdots ,{\alpha }_n)$$
となる。また、$F({\alpha }_1,\cdots ,{\alpha }_n)$ は $F$ と ${\alpha }_1,\cdots ,{\alpha }_n$ を含む $E$ の最小の部分体なので、
$$F({\alpha }_1,\cdots ,{\alpha }_n)=\bigcap _{\lambda \in \mathrm{\Lambda }}{K}_{\lambda }$$
となる。

例

例1

実数体 $\mathbb{R}$ は 複素数体 $\mathbb{C}$ の部分体である。
$\mathbb{C}$ は $\mathbb{R}$ の拡大体である。

また、実数体 $\mathbb{R}$ は複素数体 $\mathbb{C}$ と有理数体 $\mathbb{Q}$ の中間体である。

例2

$$\begin{array}{}\text{(1)}& \mathbb{Q}(\sqrt{2})=\{a+b\sqrt{2}\mid a,b\in \mathbb{Q}\}\end{array}$$

であり、$\mathbb{Q}(\sqrt{2})$ は $\mathbb{Q}$ の拡大体である。

$(\text{1})$ に関して

$\mathbb{Q}(\sqrt{2})$ を $\mathbb{R}$ の部分体として考える。

$F=\{a+b\sqrt{2}\mid a,b\in \mathbb{Q}\}$ とする。$\sqrt{2}\in F$ であり、$F$ は体 (体の定義と例の例2を参照) である。$\mathbb{Q}(\sqrt{2})$ は $\mathbb{Q}$ と $\sqrt{2}$ を含む最小の部分体なので、$\mathbb{Q}(\sqrt{2})\subset F$ となる。

$\{K_{\lambda }{\}}_{\lambda \in \mathrm{\Lambda }}$ を $\mathbb{Q}$ と $\sqrt{2}$ を含む $\mathbb{R}$ の部分体全体の族とする。任意に $a,b\in \mathbb{Q}$ をとる。このとき、任意の $\lambda \in \mathrm{\Lambda }$ に対して、$a+b\sqrt{2}\in K_{\lambda }$ なので、$a+b\sqrt{2}\in \bigcap _{\lambda \in \mathrm{\Lambda }}{K}_{\lambda }$ となる。よって、
$$a+b\sqrt{2}\in \bigcap _{\lambda \in \mathrm{\Lambda }}{K}_{\lambda }=\mathbb{Q}(\sqrt{2})$$
なので、$F\subset \mathbb{Q}(\sqrt{2})$ となり、$(\text{1})$ を満たす。