三角関数〜三角比の拡張〜

定義（三角関数）

上記のように、半径 r の円を考える。反時計回りを正としてx 軸の正の部分から原点Oを中心に $\theta$ 回転させた円周上の点をA(a,b)とする。このとき、角 $\theta$ に対する正弦(sin), 余弦(cos), 正接(tan)は次のように定義する。
$$\sin \theta =\frac{b}{r},\cos \theta =\frac{a}{r},\tan \theta =\frac{b}{a}$$

例

例1

上記のように、点A $(-3,4)$ をとる。三平方の定理より、$OA=5$ となる。反時計回りを正として、$x$軸と線分OAの角度を $\theta$ とする。このとき、
$$\sin \theta =\frac{4}{5},\cos \theta =-\frac{3}{5},\tan \theta =-\frac{4}{3}$$

例2 (120°)

$\theta =120°$ のときのsin, cos, tanを求める。図のように、半径 2 の円を考える。このとき、点A $(-1,\sqrt{3})$ とすると、$x$軸と線分OAのなす角は120°となる。

よって、
$$\sin 120°=\frac{\sqrt{3}}{2},\cos 120°=-\frac{1}{2},\tan 120°=-\sqrt{3}$$

例3 (0°)

$\theta =0°$ のときのsin, cos, tanを求める。0°の場合は、半径1の円(単位円)を考え、 点Aは$(1,0)$ とすればいい。

よって、
$$\sin 0°=\frac{0}{1}=0,\cos 0°=\frac{1}{1}=1,\tan 0°=\frac{0}{1}=0$$
となる。

例4 (270°)

$\theta =270°$ のときのsin, cos, tanを求める。図のように、半径 1 の円(単位円)を考える。このとき、円上の点Aを $(0,-1)$ とし、反時計回りを正とすると、$x$軸と線分OAのなす角は270°となる。

よって、
$$\sin 270°=-1,\cos 270°=0$$
となる。$\tan 270°$に関しては、定義に当てはめると、分母が0になってしまうため、存在しない。

まとめ

例のように三角関数を求めていくと以下のようになる。

	0°	30°	45°	60°	90°
sin(正弦)	0	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{\sqrt{2}}$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	1
cos(余弦)	1	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{1}{\sqrt{2}}$	$\frac{1}{2}$	0
tan(正接)	0	$\frac{1}{\sqrt{3}}$	1	$\sqrt{3}$	/

	120°	135°	150°	180°
sin(正弦)	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{1}{\sqrt{2}}$	$\frac{1}{2}$	0
cos(余弦)	$-\frac{1}{2}$	$-\frac{1}{\sqrt{2}}$	$-\frac{\sqrt{3}}{2}$	$-1$
tan(正接)	$-\sqrt{3}$	$-1$	$-\frac{1}{\sqrt{3}}$	0

	210°	225°	240°	270°
sin(正弦)	$-\frac{1}{2}$	$-\frac{1}{\sqrt{2}}$	$-\frac{\sqrt{3}}{2}$	$-1$
cos(余弦)	$-\frac{\sqrt{3}}{2}$	$-\frac{1}{\sqrt{2}}$	$-\frac{1}{2}$	1
tan(正接)	$\frac{1}{\sqrt{3}}$	1	$\sqrt{3}$	/

	300°	315°	330°	360°
sin(正弦)	$-\frac{\sqrt{3}}{2}$	$-\frac{1}{\sqrt{2}}$	$-\frac{1}{2}$	0
cos(余弦)	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{\sqrt{2}}$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	1
tan(正接)	$-\sqrt{3}$	$-1$	$-\frac{1}{\sqrt{3}}$	0

補足

図1のような半径1と半径 $r$ の円を考える。

図1の△OABと△OA’B’は相似なので、$a^{\prime }=ra,b^{\prime }=rb$ となり、点A’は$(ra,rb)$ と書き直せる。(図2を参考)

半径1で考えたときの三角関数は
$$\sin \theta =b,\cos \theta =a,\tan \theta =\frac{b}{a}$$
半径 $r$ で考えたときの三角関数は
$$\sin \theta =\frac{b^{\prime }}{r}=\frac{rb}{r}=b,\cos \theta =\frac{a^{\prime }}{r}=\frac{ra}{r}=a,\tan \theta =\frac{b^{\prime }}{a^{\prime }}=\frac{rb}{ra}=\frac{b}{a}$$
となり半径1で考えたときと値が同じになる。つまり、三角関数を求める際、半径はどんな大きで考えても良い。