数列の極限〜収束編〜

事前知識

• 数列の基礎
• 絶対値の不等式

数列の極限とは

ざっくりいうと数列の極限とは、
数列 $\{a_n\}$ の $n$ をだんだん大きくしていくと、$a_n$ は何の値に近づくか？
というものである。

以下の数列について見てみる。
$$a_n=\frac{1}{n}$$
$n$ に適当な値を代入してみると以下のような感じになる。

$n$	1	2	3	10	100	1000	1000000	10000000000	…
$a_n$	1	0.5	0.333…	0.1	0.01	0.001	0.000001	0.0000000001	…

感覚的に $n$ を大きくしていくと、 $a_n=\frac{1}{n}$ は 0 に近づいていることが分かる。

このとき、数列 $\{a_n\}$ は 0 に収束するといい、数式では
$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{n}=0$$
と書く。

定義

「近づく」を具体的に

上記の例ではかなり曖昧な表現を使ったので、実際どのように定義されるのかを見ていく。

上記では「数列 $\{a_n\}$ が 0 に収束する」とは「$n$ を大きくしていくと、$a_n$ は 0 に近づく」と書いた。

では、「$a_n$ は 0 に近づく」をどのように表現するのか。

下の図のような点Pが原点Oに近づく場合をPの座標を$p$, Oの座標を 0 として考えてみる。

「点Pが原点Oに近づく」すなわち「点Pと原点Oとの距離が限りなく0に近い」ということである。
これを式で

十分小さい正の実数 $ϵ>0$ に対して、$|p|<ϵ$ が成り立つ

と表すことができる。
十分小さいという表現をしたが、「任意の $ϵ>0$ に対して、$|p|<ϵ$​​」が成り立つとき、「点Pと原点Oとの距離が限りなく0に近い」と言える。

分かりやすくするため、上記では原点に近づく場合を述べたが、点Aの座標を $\alpha$ としたとき、「点Pが点Aに近づく」を言い換えると、

任意の $ϵ>0$ に対して、$|p–\alpha |<ϵ$

となる。

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では、「数列 $\{a_n\}$ が $\alpha$ に収束する」はどのように定義されるのか？

「$n$ が十分大きいとき、$a_n$ が $\alpha$ に近づく」を言い換えると、

十分小さい正の実数 $ϵ$ に対して、$n$ が十分大きいとき、$|a_n–\alpha |<ϵ$ が成り立つ

となる。

定義

任意の $ϵ>0$ に対して、ある自然数 $N$ が存在して、$n\ge N$ を満たすすべての自然数 $n$ に対して、$|a_n–\alpha |<ϵ$

が成り立つとき、数列 $\{a_n\}$ は $\alpha$ に収束するといい、
$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{a}_n=\alpha$$
と書く。

全称記号を使うと、
$$\mathrm{\forall }ϵ>0,\mathrm{\exists }N>0,n\ge N\Rightarrow |a_n–\alpha |<ϵ$$
となる。

例

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{n}=0$$

を定義に沿って示す。

( i ) $ϵ>1$ となる $ϵ$ をとってきた場合

任意の自然数 $n$​ に対して、
$$|a_n|=\left|\frac{1}{n}\right|\le 1$$
より、
$$|a_n|=\left|\frac{1}{n}\right|<ϵ$$
が成り立つ。

( ii ) $0<ϵ\le 1$ となる $ϵ$​ をとってきた場合

$a_n>0$ であり、
$$\frac{1}{n}>\frac{1}{n+1}$$
すなわち、$a_n>a_{n+1}$ が成り立つ。(つまり、$n$ が大きなると $a_n$ は小さくなっていく。)
よって、
$$\begin{array}{}\text{(1)}& \frac{1}{N}<ϵ\end{array}$$
を満たす自然数 $N$ が取れたとき、$n\ge N$ を満たすすべての自然数 $n$ に対して、
$$|a_n|=\left|\frac{1}{n}\right|<ϵ$$
が成り立つ。

$(\text{1})$ を満たす自然数 $N$ を見つけるには
$$\begin{array}{}\text{(2)}& N>\frac{1}{ϵ}\end{array}$$
を満たす自然数 $N$ を見つければいい。$\frac{1}{ϵ}$ の整数部分を $A_{ϵ}$​ とする。
(例えば、2.31432 の整数部分は 2)
$$N=A_{ϵ}+1$$
とすると、$(\text{2})$ が成り立つ。

以上より、

任意の $ϵ>0$ に対して、ある自然数 $N$ が存在して、$n\ge N$ を満たすすべての自然数 $n$ に対して、$|\frac{1}{n}|<ϵ$​

が成り立つため、
$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{n}=0$$
となることが示された。