数列の極限〜発散編〜

前提知識

数列の極限〜収束編〜

定義

数列 $\{a_n\}$ がどの値にも収束しないとき、数列 $\{a_n\}$ は発散するという。

例

$$\begin{array}{}\text{(1)}& a_n=n\end{array}$$

は発散する。

仮に、数列 $\{a_n\}$ が何かしらの値 $\alpha$ に収束したとする。すなわち、
$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}n=\alpha$$
このとき、収束の定義を思い出してみると、どんな $ϵ>0$ を取ってきても十分大きな自然数 $n$ に対して、
$$|n–\alpha |<ϵ$$
が成り立つはずである。

しかし、例えば $ϵ=1$ を取ってきたとする。
$$N=\{\begin{array}{ll}[\alpha ]+1& (\alpha >0)\\ 1& (\alpha \le 0)\end{array}$$
としたとき、$n\ge N$ を満たす任意の自然数 $n$ に対して、
$$|n–\alpha |\ge 1$$
になる。ただし、$[x]$ は $x$ を超えない最大の整数とする。（例えば、$[2.3]$ の場合 2.3 を超えない最大の整数は 2 なので、$[2.3]=2$​​）

よって、どんな $\alpha$ を取ってきても、ある $ϵ>0$ に対しては、十分大きい$n$ に対して、$|n–\alpha |\ge ϵ$ となってしまうため、$a_n=n$ は発散する。

発散の種類

$\mathrm{\infty }$ に発散

上でやった例
$$a_n=n$$
は $n$ が十分大きくしていくと、$a_n$ も十分大きくなっていく。このとき、$\{a_n\}$ は $\mathrm{\infty }$ に発散するといい、
$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{a}_n=\mathrm{\infty }$$
と表す。

正確には、十分大きな正の実数 $M>0$ を取ってきても、十分大きな自然数 $n$ に対して、$a_n>M$ が成り立つ、すなわち

任意の実数 $M>0$ に対して、ある自然数 $N$ が存在して、$n\ge N$ を満たす任意の自然数 $n$ に対して、$a_n>M$

を満たすとき、数列 $\{a_n\}$ は $\mathrm{\infty }$​ に発散するという。

$a_n=n$ の場合、
$$N=[M]+1$$
とおく事により、$\{a_n\}$ が $\mathrm{\infty }$ に発散することが示せる。

$-\mathrm{\infty }$ に発散

十分大きい自然数 $n$ に対して、 $a_n$ が負の方向に十分小さくなるとき 数列 $\{a_n\}$ は $-\mathrm{\infty }$ に発散するといい、
$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{a}_n=-\mathrm{\infty }$$
と書く。

簡単な例で言うと、$a_n=-n$ のとき $\{a_n\}$ は $-\mathrm{\infty }$ に発散する。すなわち、
$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}(-n)=-\mathrm{\infty }$$
である。

正確な定義は、十分小さな実数 $M<0$ を取ってきても、十分大きな自然数 $n$ に対して、$a_n<M$ が成り立つ、すなわち

任意の負の実数 $M<0$ に対して、自然数 $N$ が存在し、$n\ge N$ を満たすすべての自然数 $n$ に対して、$a_n<M$

を満たすとき、$\{a_n\}$ は $-\mathrm{\infty }$ に発散するという。

振動する

$\{a_n\}$ が収束せず、$\mathrm{\infty }$ にも $-\mathrm{\infty }$ にも発散しない場合、$\{a_n\}$ は振動すると言う。

例えば、
$$a_n=(-1{)}^n$$
の場合、数列 $\{a_n\}$ は発散するが、$\mathrm{\infty }$ にも $-\mathrm{\infty }$​ にも発散しないので、この数列は振動する。

$\{a_n\}$ が発散することの理由

$a_1=-1,a_2=1,\cdots ,a_{2m-1}=-1,a_{2m}=1$ のように、$a_n$ は $-1$ か 1 しか値を取らない。そのため、少なくとも $\{a_n\}$ は $-1$​ や 1 に収束することはない。

例えば以下の図のような位置 $\alpha$ に収束するとする。

$ϵ=|1–\alpha |$ とすると、すべての自然数 $n$ に対して、
$$|(-1{)}^n–\alpha |\ge ϵ$$
が成り立つ。

次に、$\{a_n\}$ は 1 にも収束しないこと確かめる。

$ϵ=1$ とする。$n$ が奇数のとき、$a_n=-1$ となるため、どんな自然数 $N$ を取ってきたとしても、$n$ が $n\ge N$ を満たす奇数のとき、$|(-1{)}^n–1|\ge ϵ$ となってしまう。

よって、$\{a_n\}$ は 1 には収束しない。

$\{a_n\}$ が $-1$ に収束しないことも同様の方法で示すことができる。

よって、$\{a_n\}$ は発散する。

$\{a_n\}$ が $\mathrm{\infty }$ や $-\mathrm{\infty }$ に発散しない理由

$M=2$ のとき、すべての自然数 $n$ に対して、 $|(-1{)}^n|<M$ となるため、$\{a_n\}$ は $\mathrm{\infty }$ に発散しない。

$M=-2$ のとき、すべての自然数 $n$ に対して、 $|(-1{)}^n|>M$ となるため、$\{a_n\}$ は $-\mathrm{\infty }$ に発散しない。