線形部分空間

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定義
1. 補足
例
1. 例1
2. 例2
生成系

線形空間とその補足

定義

$V$ を $F$ 上線形空間、 $W$ を $V$ の部分集合とする。

以下の条件を満たすとき、 $W$ は $V$ の $F$ 上線形部分空間( $V$ の部分空間)という。

$u, v \in W$ に対して、 $u + v \in W$
$a \in F, v \in W$ に対して、 $a \cdot v \in W$
$0 \in W$

補足

$W$ も線形空間の条件を満たす。

例えば、線形空間の3番目の条件を見てみると、 $W \subset V$ より、任意の $v \in W$ に対して、 $- v \in V$ が存在する。

線形空間の補足と部分空間と定義から
$- v = (- 1) \cdot v \in W$
となる。

例

例1

$R$ は $C$ の ( $C$ 上線形)部分空間

例2

$R^{3} = {(\begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix}) | x, y, z \in R}$

の部分集合
$W = {a (\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 2 \end{matrix}) + b (\begin{matrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{matrix}) | a, b \in R}$
を考える。

このとき、 $W$ は $R^{3}$ の部分空間である。

$u, v \in W$ とする。

このとき、 $a_{1}, b_{1}, a_{2}, b_{2} \in R$ に対して、
$u = a_{1} (\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 2 \end{matrix}) + b_{1} (\begin{matrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{matrix}) = (\begin{matrix} a_{1} + b_{1} \\ a_{1} + 2 b_{1} \\ 2 a_{1} + 3 b_{1} \end{matrix}),$

$v = a_{2} (\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 2 \end{matrix}) + b_{2} (\begin{matrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{matrix}) = (\begin{matrix} a_{2} + b_{2} \\ a_{2} + 2 b_{2} \\ 2 a_{2} + 3 b_{2} \end{matrix})$

と書ける。
$\begin{aligned} u + v & = (\begin{array}{c} a_{1} + b_{1} \\ a_{1} + 2 b_{1} \\ 2 a_{1} + 3 b_{1} \end{array}) + (\begin{array}{c} a_{2} + b_{2} \\ a_{2} + 2 b_{2} \\ 2 a_{2} + 3 b_{2} \end{array}) \\ = (\begin{array}{c} a_{1} + a_{2} \\ a_{1} + a_{2} \\ 2 a_{1} + 2 a_{2} \end{array}) + (\begin{array}{c} b_{1} + b_{2} \\ 2 b_{2} + 2 b_{2} \\ 3 b_{1} + 3 b_{2} \end{array}) \\ = (a_{1} + a_{2}) (\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 2 \end{array}) + (b_{1} + b_{2}) (\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 3 \end{array}) \end{aligned}$
となるので、 $u + v \in W$ である。

$α \in R$ , $v \in W$ とする。

このとき、 $a, b \in R$ に対して、
$v = a (\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 2 \end{matrix}) + b (\begin{matrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{matrix}) = (\begin{matrix} a + b \\ a + 2 b \\ 2 a + 3 b \end{matrix})$
と書ける。
$α v = (\begin{matrix} α a + α b \\ α a + 2 α b \\ 2 α a + 3 α b \end{matrix}) = α a (\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 2 \end{matrix}) + α b (\begin{matrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{matrix})$
となるので、 $α v \in W$ である。

補足

図形的なイメージとしては、空間ベクトルでやったイメージである。

この場合、 $\vec{a} = (1, 1, 2), \vec{b} = (1, 2, 3)$ としたとき、 $\vec{a}$ と $\vec{b}$ によって作られる平面となる。

生成系

例2を一般化する。

$V$ を $F$ 上線形空間、 $v_{1}, \dots, v_{n} \in V$ とする。
$< v_{1}, v_{2}, \dots, v_{n} >= {a_{1} v_{1} + \dots + a_{n} v_{n} ∣ a_{1}, \dots, a_{n} \in F}$
と定義したとき、 $< v_{1}, v_{2}, \dots, v_{n} >$ は $V$ の部分空間である。
$W =< v_{1}, v_{2}, \dots, v_{n} >$
としたとき、 $W$ を $v_{1}, \dots, v_{n}$ によって生成される $V$ の部分空間という。
また、 $v_{1}, \dots, v_{n}$ は $W$ の生成系という。

$v \in< v_{1}, v_{2}, \dots, v_{n} >$ すなわち、
$v = a_{1} v_{1} + \dots + a_{n} v_{n}$
と表すことができるとき、 $v$ は $v_{1}, \dots, v_{n}$ の1次結合という。

$< v_{1}, v_{2}, \dots, v_{n} >$ が $V$ の部分空間である理由

線形空間の定義を使うことにより証明できる。

任意に $u, w \in< v_{1}, v_{2}, \dots, v_{n} >$ をとってくる。
このとき、
$u = a_{1} v_{1} + \dots + a_{n} v_{n}$

$w = b_{1} v_{1} + \dots + b_{n} v_{n}$

の形で書ける。
$\begin{aligned} u + w & = (a_{1} v_{1} + \dots + a_{n} v_{n}) + (b_{1} v_{1} + \dots + b_{n} v_{n}) \\ = (a_{1} + b_{1}) v_{1} + \dots + (a_{n} + b_{n}) v_{n} \end{aligned}$
となる。
ここでは、線形空間の定義の1と4と6を使っている。

よって、 $a_{i} + b_{i} \in F (i = 1, \dots, n)$ なので、 $u + w \in$ となる。

任意に $α \in F$ と $u \in< v_{1}, v_{2}, \dots, v_{n} >$ をとってくる。
$\begin{aligned} α u & = α (a_{1} v_{1} + \dots + a_{n} v_{n}) \\ = α a_{1} v_{1} + \dots + α a_{n} v_{n} \end{aligned}$
となり、 $α a_{i} \in F (i = 1, \dots, n)$ なので、 $α u \in$ となる。

$a_{i} = 0 (i = 1, \dots, n)$ とすると $0 \in< v_{1}, v_{2}, \dots, v_{n} >$ である。

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