数列

数列とは

数を一列に並べたもの。

例えば、

4,2,5,7,4,1,7, …

である。一般的に文字を使って

$a_1,a_2,\cdots ,a_n,\cdots$

と表す。

数列の1番最初の数 $a_1$ を初項、2, 3 番目の数 $a_2,a_3$ の数をそれぞれ第2項, 第3項と呼ぶ。
数列が有限であるとき、一番最後の項を末項と呼ぶ。
第 $n$ 項 $a_n$ を $n$ の式で表したものを一般項と呼ぶ。

数列の例

等差数列

2, 5, 8, 11, 14, …

上記のような初項 $a_1=2$ で $a_2–a_1=3,a_3–a_2=3,\cdots ,a_{n+1}–a_n=3$ となる数列を考える。

この数列の一般項 $a_n$ は
$$a_n=3n-1$$
である。

上記の例のように $a_{n+1}–a_n=(\mathrm{一}\mathrm{定})$ であるような数列を等差数列と呼び、$a_{n+1}–a_n$ の値を公差と呼ぶ。

一般的に初項 $a_1$, 公差 $d$ の等差数列の一般項は
$$a_n=a_1+(n-1)d$$
である。

等比数列

2, 6, 18, 54, 162, …

初項 $a_1=2$ で、$a_2/a_1=3,a_3/a_2=3,\cdots ,a_{n+1}/a_n=3$ となる数列を考える。

この数列の一般項 $a_n$ は
$$a_n=2\cdot 3^{n-1}$$
である。

上記の例のように $a_{n+1}/a_n=(\mathrm{一}\mathrm{定})$ であるような数列を等比数列と呼び、$a_{n+1}/a_n$ の値を公比と呼ぶ。

一般的に初項 $a_1$, 公比 $r$ の等比数列の一般項は
$$a_n=a_1{r}^{n-1}$$
である。