日常で確率〜確率の不思議〜

※ この記事はnoteをやっていた頃に投稿した記事です。こちらのブログに移しました。
（note投稿日：2022年8月27日）

最近ふと思った！
状況は以下の通り、、、

食器あらいしているとき、よくお箸を3膳まとめて洗う時がある。
洗った箸は目の前の棚に置いて乾かす。（箸の上には皿が乗っているので、箸の色などは見えない。）
次の食事の時に適当に箸を2本とる。

同じ種類の箸が取れない。。。

これの確率について考えてみる。

シンプルに考えてみる
条件を少し加えてみる

シンプルに考えてみる

赤色の箸と青色の箸と緑色の箸がそれぞれ1膳ずつあるとする。つまり、赤赤青青緑緑、の計6本。

例えば、この中無作為に箸2本選び、2本とも赤色の箸である確率は、

$\frac{_{2} C_{2}}{_{6} C_{2}} = \frac{1}{15}$

である。なので、無作為に2本選び、2本とも同じ色の箸である確率は

$\frac{1}{15} \times 3 = \frac{1}{5}$

である。

いや、ちょっと待てよ、、、

箸の取り方を思い返してみると、いつも隣同士の箸を選んでる。。。

ということは、洗い物が終わり適当に箸を置いたときに、隣同士が異なる色(例えば、赤青緑赤青緑の順)だったら100%同じ色取れないやん！！

感覚的に確率下がるのでは、、、？

条件を少し加えてみる

無作為に箸を並べ、2本取り出すときは必ず隣同士の箸をとることにする。

まず、箸の並べ方は、

$_{6} C_{2} \cdot_{4} C_{2} = 90 通り$

ある。

また、隣同士の箸を2本とる方法は5通りである。
これは、赤A, 赤B, 青A, 青B, 緑A, 緑Bと箸が並んでいたとすると取り方は

(赤A, 赤B), (赤B, 青A), (青A, 青B), (青B, 緑A), (緑A, 緑B)

次に、次の3つに場合分けして考えてみる。

赤赤青青緑緑のように、全ての箸が同じ色で隣り合っている
赤赤緑青青緑のように、2膳の箸が同じ色で隣り合っていて残りの1膳は隣り合っていない
赤赤青緑青緑のように、1膳の箸のみが同じ色で隣り合っている

1の場合

全て書くと、

赤赤青青緑緑, 赤赤緑緑青青, 青青赤赤緑緑, 青青緑緑赤赤, 緑緑赤赤青青, 緑緑青青赤赤

の6通り。

また、例えば「赤赤青青緑緑」の並びで、隣同士の箸を抜いたときに同じ色である確率は $\frac{3}{5}$ である。

なので、1の場合隣同士の箸を抜いたときに同じ色である確率は

$\frac{6}{90} \times \frac{3}{5} = \frac{18}{450}$

2の場合

赤同士、青同士が隣り合っていて、緑は隣り合っていない場合を全て書くと

赤赤緑青青緑, 青青緑赤赤緑, 緑赤赤青青緑, 緑青青赤赤緑, 緑赤赤緑青青, 緑青青緑赤赤

の6通り。なので、2膳の箸が同じ色で隣り合っていて残りの1膳は隣り合っていない場合は $6 \times 3 = 18$ 通り。

また、例えば「赤赤緑青青緑」の並びで、隣同士の箸を抜いたときに同じ色である確率は $\frac{2}{5}$ である。

なので、2の場合隣同士の箸を抜いたときに同じ色である確率は

$\frac{18}{90} \times \frac{2}{5} = \frac{36}{450}$

3の場合

赤のみ隣り合っている場合を全て書くと、

赤赤青緑青緑, 赤赤緑青緑青, 青赤赤緑青緑, 緑赤赤青緑青, 青緑赤赤青緑, 青緑赤赤緑青, 緑青赤赤青緑, 緑青赤赤緑青, 青緑青赤赤緑, 緑青緑赤赤青, 青緑青緑赤赤, 緑青緑青赤赤

の12通り。なので、1膳の箸のみが同じ色で隣り合っている場合は $12 \times 3 = 36$ 通り。

また、例えば「赤赤青緑青緑」の並びで、隣同士の箸を抜いたときに同じ色である確率は $\frac{1}{5}$ である。

なので、3の場合隣同士の箸を抜いたときに同じ色である確率は

$\frac{36}{90} \times \frac{1}{5} = \frac{36}{450}$

よって、以上のことから、

$\frac{18}{450} + \frac{36}{450} + \frac{36}{450} = \frac{1}{5}$

シンプルに考えた時と確率が同じになった!!!