三角関数の性質

事前知識

三角関数の定義

例1 $(\frac{\pi }{2}–\theta )$​ の三角関数

$0<\theta <\frac{\pi }{2}$ とする。

例えば、半径1の円(単位円) を考えたとき、$\theta$ が以下の図のような位置にあったとする。

図のように、点Aの座標を $(a,b)$ としたとき、
$$\begin{array}{}\text{(1)}& \sin \theta =b,\cos \theta =a,\tan \theta =\frac{b}{a}\end{array}$$
である。

$(\frac{\pi }{2}–\theta )$ は以下の図のような位置にある。

このとき、点Bは $(b,a)$ になる。

よって、
$$\begin{array}{}\text{(2)}& \sin \left(\frac{\pi }{2}–\theta \right)=b,\cos \left(\frac{\pi }{2}–\theta \right)=a,\tan \left(\frac{\pi }{2}–\theta \right)=\frac{a}{b}\end{array}$$
となる。

$(\text{1})$ と $(\text{2})$ を比較することにより、
$$\begin{array}{}\text{(3)}& \sin \left(\frac{\pi }{2}–\theta \right)=\cos \theta ,\cos \left(\frac{\pi }{2}–\theta \right)=\sin \theta .\tan \left(\frac{\pi }{2}–\theta \right)=\frac{1}{\tan \theta }\end{array}$$
となる。

簡単なため、$0<\theta <\frac{\pi }{2}$ で考えたが、それ以外の角度でも同じ結果となる。

例えば、$\theta$ が以下の位置にあるとする。

このとき、$(\frac{\pi }{2}–\theta )$​ は以下の図のような位置にある。

点Aを$(a,b)$とすると、点Bは$(b,a)$なり、$(\text{3})$ と同じ結果になる。

例2 $(\pi –\theta )$​ の三角関数

$\theta$が以下の 以下の図のような位置にあったとする。

このとき、$(\pi –\theta )$ は以下の図のような位置にある。

点Aを$(a,b)$とすると、点Bは$(-a,b)$​となる。
よって、
$$\begin{array}{}\text{(4)}& \sin \theta =b,\cos \theta =a,\tan \theta =\frac{b}{a}\end{array}$$

$$\begin{array}{}\text{(5)}& \sin (\pi –\theta )=b,\cos (\pi –\theta )=-a,\tan (\pi –\theta )=-\frac{b}{a}\end{array}$$

となる。$(\text{4})$と$(\text{5})$を比較することにより、
$$\sin (\pi –\theta )=\sin \theta ,\cos (\pi –\theta )=-\cos \theta ,\tan (\pi –\theta )=-\tan \theta$$
でとなる。

まとめ

例1, 例2のように考えていくと以下のようなことが言える。
$$\sin \left(\frac{\pi }{2}–\theta \right)=\cos \theta ,\cos \left(\frac{\pi }{2}–\theta \right)=\sin \theta .\tan \left(\frac{\pi }{2}–\theta \right)=\frac{1}{\tan \theta }$$

$$\sin (\frac{\pi }{2}+\theta )=\cos \theta ,\cos (\frac{\pi }{2}+\theta )=-\sin \theta .\tan (\frac{\pi }{2}+\theta )=-\frac{1}{\tan \theta }$$

$$\sin (\pi –\theta )=\sin \theta ,\cos (\pi –\theta )=-\cos \theta ,\tan (\pi –\theta )=-\tan \theta$$

$$\sin (\pi +\theta )=-\sin \theta ,\cos (\pi +\theta )=-\cos \theta ,\tan (\pi +\theta )=\tan \theta$$

$$\sin \left(\frac{3}{2}\pi –\theta \right)=-\cos \theta ,\cos \left(\frac{3}{2}\pi –\theta \right)=-\sin \theta .\tan \left(\frac{3}{2}\pi –\theta \right)=\frac{1}{\tan \theta }$$

$$\sin (\frac{3}{2}\pi +\theta )=-\cos \theta ,\cos (\frac{3}{2}\pi +\theta )=\sin \theta .\tan (\frac{3}{2}\pi +\theta )=-\frac{1}{\tan \theta }$$

$$\sin (-\theta )=-\sin \theta ,\cos (-\theta )=\cos \theta ,\tan (-\theta )=-\tan \theta$$