SIRモデル(感染症モデル)について〜googleのスプレッドシートでグラフ化してみる〜

※ この記事はnoteをやっていた頃に投稿した記事です。こちらのブログに移しました。
（note投稿日：2022年11月6日）

SIR数列モデル

$N$ : 人口
$S_n$ : $n$日目の感受性者数
$I_n$ : $n$日目の感染者数
$R_n$ : $n$日目の回復した人数
$\beta$ : 感染率
$\gamma$ : 回復率

$$
\begin{cases}
S_{n+1} – S_n = -\beta S_n I_n \\
I_{n+1} – I_n = \beta S_n I_n – \gamma I_n \\
R_{n+1} – R_n = \gamma I_n
\end{cases}
$$

次のような状況を考える。

$N = 10000000$ (人口一千万人)
$I_1 = 1$ (感染者数1人)
$S_1 = 9999999$
$R_1 = 0$
$\gamma = 0.1$ (感染したら10日で回復)

前回は全体を12人とし、その12人全員が毎日接触するとしていた。今回は以下のように設定する。

$n$日目、感受性者の割合は$S_n/N$である。
なので、感染者1人が誰か1人(感受性者または感染者または回復した人)と接触する場合、感染する可能性のある人の割合は$S_n/N$となる。

$n$日目の感染者数が$I_n$で、感染者1人に対し、1日10人と接触するとしているので、接触したとき感染する確率(0.05)を無視すると、感染者数は

$$10 \times I_n \times S_n/N$$

となる。

よって、接触したとき感染する確率0.05を含ると、$n$日目から$n+1$日目にかけての感染者数は

$$0.05 \times 10 \times I_n \times S_n/N$$

以上のことから感染率$\beta$は

$$\beta = 0.05 \times 10 / N$$

とすることにする。

$I_2 – I_1 = \beta S_1 I_1 – \gamma I_1$より、感染者数の列の2日目のセルに式「$I_1 + \beta S_1 I_1 – \gamma I_1$」を記入する
図のスプレッドシートでは「=C2+\$F\$4*B2*C2-\$F$5*C2」
感染率$\beta$と回復率$\gamma$は固定のため、シートのF4とF5は$マークをつけておく