空間ベクトル2

関連記事
空間ベクトルの1次独立
空間ベクトルにおける1次独立の性質

空間ベクトルの1次独立

このページでは特に断りがない限り、2つ以上のベクトルを考える際、始点は同じ位置にあるものとする。

定義

以下を満たすとき、 $\vec{a}$ と $\vec{b}$ と $\vec{c}$ は1次独立であるという。
$k \vec{a} + l \vec{b} + m \vec{c} = \vec{0} \Rightarrow k = l = m = 0$

例1

$\vec{a} = (3, 1, 2), \vec{b} = (2, 2, 2), \vec{c} = (1, 2, 3)$

とする。

$k \vec{a} + l \vec{b} + m \vec{c} = (3 k + 2 l + m, k + 2 l + 2 m, 2 k + 2 l + 3 m)$
より、 $k \vec{a} + l \vec{b} + m \vec{c} = \vec{0}$ とすると、

${\begin{cases} 3 k + 2 l + m = 0 \\ k + 2 l + 2 m = 0 \\ 2 k + 2 l + 3 m = 0 \end{cases}$
となる。この連立方程式を解くと、 $k = l = m = 0$ となるので、 $\vec{a}$ と $\vec{b}$ と $\vec{c}$ は1次独立である。

例2

$\vec{a} = (3, 1, 2), \vec{b} = (2, 4, 6), \vec{c} = (4, 3, 5)$

とする。

$k \vec{a} + l \vec{b} + m \vec{c} = (3 k + 2 l + 4 m, k + 4 l + 3 m, 2 k + 6 l + 5 m)$
より、 $k \vec{a} + l \vec{b} + m \vec{c} = \vec{0}$ とすると、

${\begin{cases} 3 k + 2 l + 4 m = 0 \\ k + 4 l + 3 m = 0 \\ 2 k + 6 l + 5 m = 0 \end{cases}$
となる。例えば、 $k = 2, l = 1, m = - 2$ はこの連立方程式の解になり、 $k = l = m = 0$ 以外の解を持つため、 $\vec{a}$ と $\vec{b}$ と $\vec{c}$ は1次独立ではない。

また、
$\vec{c} = \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b}$
と表すことができ、 $\vec{a}$ と $\vec{b}$ と $\vec{c}$ は同一平面上にある。

空間ベクトルにおける1次独立の性質

$\vec{a}$ と $\vec{b}$ と $\vec{c}$ が1次独立である $\Leftrightarrow$ $\vec{a} \neq \vec{0}, \vec{b} \neq \vec{0}, \vec{c} \neq \vec{0}$ であり、 $\vec{a}$ と $\vec{b}$ と $\vec{c}$ は同一平面上にない

証明

まず、 $\vec{a}$ と $\vec{b}$ と $\vec{c}$ が1次独立である $\Rightarrow$ $\vec{a} \neq \vec{0}, \vec{b} \neq \vec{0}, \vec{c} \neq \vec{0}$ であり、 $\vec{a}$ と $\vec{b}$ と $\vec{c}$ は同一平面上にないことを示す。

$\vec{a} = \vec{0}$ とする。

このとき、 $k = 1, l = m = 0$ としても $k \vec{a} + l \vec{b} + m \vec{c} = \vec{0}$ が成り立つので、 $\vec{a} \neq \vec{0}$ である。
$\vec{b} \neq \vec{0}, \vec{c} \neq \vec{0}$ も同様。

$\vec{a} \neq \vec{0}, \vec{b} \neq \vec{0}, \vec{c} \neq \vec{0}$ で $\vec{a}$ と $\vec{b}$ と $\vec{c}$ は同一平面上であるとする。

このとき、
$\vec{c} = s \vec{a} + t \vec{b}$
と表すことができるので、 $\vec{a}$ と $\vec{b}$ と $\vec{c}$ は一次独立でない。
よって、 $\vec{a}$ と $\vec{b}$ と $\vec{c}$ は同一平面上にない。

次に $\vec{a} \neq \vec{0}, \vec{b} \neq \vec{0}, \vec{c} \neq \vec{0}$ であり、 $\vec{a}$ と $\vec{b}$ と $\vec{c}$ は同一平面上にない $\Rightarrow$ $\vec{a}$ と $\vec{b}$ と $\vec{c}$ が1次独立であることを示す。