三角関数の相互関係

事前知識

三角関数の定義

三角関数の相互関係

以下の関係式が成り立つ。
$$\begin{array}{}\text{(1)}& {\sin }^2\theta +{\cos }^2\theta =1\end{array}$$

$$\begin{array}{}\text{(2)}& \tan \theta =\frac{\sin \theta }{\cos \theta }\end{array}$$

$$\begin{array}{}\text{(3)}& 1+{\tan }^2\theta =\frac{1}{{\cos }^2\theta }\end{array}$$

${\sin }^2\theta +{\cos }^2\theta =1$

この等式は三平方の定理から成り立つことが分かる。

以下のような単位円を考え、角度 $\theta$ をとる。

図のように、点Aから $x$ 軸に垂線をおろしたときの $x$ 軸との交点をBとする。

このとき、三平方の定理より
$$\begin{array}{rl}O{B}^2+B{A}^2& =O{A}^2\\ a^2+b^2& =1\end{array}$$
が成り立つ。$a=\cos \theta ,b=\sin \theta$ より
$${\cos }^2\theta +{\sin }^2\theta =1$$
となる。よって、$(\text{1})$ が成り立つ。

$\tan \theta =\frac{\sin \theta }{\cos \theta }$

以下の図のような $\theta$ と点A$(a,b)$をとる。

$$\sin \theta =b,\cos \theta =a,\tan \theta =\frac{b}{a}$$
より、$(\text{2})$ が成り立つことが分かる。

$1+{\tan }^2\theta =\frac{1}{{\cos }^2\theta }$

$(\text{1}),(\text{2})$ から $\sin \theta$ を削除することにより、$(\text{3})$ を導き出せる。
$$\tan \theta =\frac{\sin \theta }{\cos \theta }$$
より、
$$\begin{array}{}\text{(2′)}& \sin \theta =\tan \theta \cos \theta \end{array}$$
となる。$(\text{1})$ に $(\text{2′})$ を代入すると、
$$\begin{array}{rl}{\sin }^2\theta +{\cos }^2\theta & =1\\ {\tan }^2\theta {\cos }^2\theta +{\cos }^2\theta & =1\\ (1+{\tan }^2\theta ){\cos }^2\theta & =1\\ 1+{\tan }^2\theta & =\frac{1}{{\cos }^2\theta }\end{array}$$
となる。

例

三角関数の相互関係を利用することにより sin, cos, tan のどれか一つが分かっていれば残り2つの三角関数が求められる。

$\sin \theta =\frac{5}{13}$ とするとき、cos と tan を求める。
$${\sin }^2\theta +{\cos }^2\theta =1$$
より
$$\begin{array}{rl}{\left(\frac{5}{13}\right)}^2+{\cos }^2\theta & =1\\ {\cos }^2\theta & =1–{\left(\frac{5}{13}\right)}^2\\ {\cos }^2\theta & =\frac{144}{169}\end{array}$$
となるため、$\cos \theta$ は $\frac{12}{13}$ または $-\frac{12}{13}$ である。

( i ) $\cos \theta =\frac{12}{13}$ の場合
$$\tan \theta =\frac{\sin \theta }{\cos \theta }$$
より、
$$\tan \theta =\frac{\frac{5}{13}}{\frac{12}{13}}=\frac{5}{12}$$
( ii ) $\cos \theta =-\frac{12}{13}$​ の場合
$$\tan \theta =\frac{\frac{5}{13}}{-\frac{12}{13}}=-\frac{5}{12}$$
よって、
$$\cos \theta =\frac{12}{13},\tan \theta =\frac{5}{12}$$
または
$$\cos \theta =-\frac{12}{13},\tan \theta =-\frac{5}{12}$$